Zahlensysteme

Zahlensysteme – Die Sprache der Computer verstehen

Computer denken anders als wir Menschen. Während wir im Alltag das Dezimalsystem (also Zahlen mit 0-9) nutzen, arbeiten Computer hauptsächlich mit zwei Zuständen: An oder Aus, Strom fließt oder fließt nicht. Diese beiden Zustände werden als 0 und 1 dargestellt und bilden die Grundlage des Dualsystems. Aber keine Sorge, es ist gar nicht so kompliziert, wie es klingt! Wir schauen uns an, wie wir Zahlen zwischen verschiedenen Systemen umrechnen können.

Die Potenzschreibweise – Das Geheimnis hinter jedem Zahlensystem

Jede Ziffer in einer Zahl hat einen bestimmten Wert, der von ihrer Position abhängt. Das nennen wir Potenzschreibweise. Einfach ausgedrückt: Je weiter links eine Ziffer steht, desto "wichtiger" ist sie.

Merke: Eine Zahl Z in einem Zahlensystem zur Basis b (z.B. 10 für Dezimal, 2 für Dual) mit den Ziffern z_n z_n-1 ... z₁ z₀ kann man so schreiben:

Z = z_n ⋅ bⁿ + z_n-1 ⋅ b^n-1 + ... + z₁ ⋅ b¹ + z₀ ⋅ b⁰

Beispiel: Unsere bekannte Zahl 123 im Dezimalsystem (Basis 10):

123₁₀ = 1 ⋅ 10² + 2 ⋅ 10¹ + 3 ⋅ 10⁰ = 1 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 1 = 100 + 20 + 3 = 123

Das Dualsystem (Binärsystem) – Die Sprache der Computer

Das Dualsystem arbeitet nur mit zwei Ziffern: 0 und 1. Die Basis ist 2. Jede Position steht für eine Potenz von 2.

Umrechnung Dual- nach Dezimalsystem

Um eine Dualzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, multipliziere jede Ziffer der Dualzahl mit der passenden Potenz von 2 und addieren alles.

Beispiel: 1011₂ nach Dezimal

1 ⋅ 2³ + 0 ⋅ 2² + 1 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰

= 1 ⋅ 8 + 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Umrechnung Dezimal- nach Dualsystem

Hierfür gibt es zwei einfache Methoden:

Divisionsmethode (Restwertmethode)

Teile die Dezimalzahl immer wieder durch 2 und notieren die Reste. Die Dualzahl entsteht, wenn du die Reste von unten nach oben lesen.

Beispiel: 13₁₀ nach Dual

1. 13 ÷ 2 = 6 Rest 1
2. 6 ÷ 2 = 3 Rest 0
3. 3 ÷ 2 = 1 Rest 1
4. 1 ÷ 2 = 0 Rest 1

Ergebnis (Reste von unten nach oben): 1101₂

Subtraktionsmethode (Potenzmethode)

Suche die größte Potenz von 2, die kleiner oder gleich deiner Dezimalzahl ist, ziehe diese ab und wiederholen den Vorgang mit dem Rest. Für jede verwendete Potenz schreibe eine 1, sonst eine 0.

Beispiel: 13₁₀ nach Dual

Potenzen von 2: ..., 16, 8, 4, 2, 1

1. Größte Potenz von 2 ≤ 13 ist 8 (2³). Setze 1 an die 2³-Stelle. Rest: 13 - 8 = 5.
2. Größte Potenz von 2 ≤ 5 ist 4 (2²). Setze 1 an die 2²-Stelle. Rest: 5 - 4 = 1.
3. Größte Potenz von 2 ≤ 1 ist 1 (2⁰). Setze 1 an die 2⁰-Stelle. Rest: 1 - 1 = 0.
4. Die 2¹-Stelle bleibt 0.

Ergebnis: 1101₂

Das Hexadezimalsystem (Basis 16) – Die Kurzform für Computerzahlen

Das Hexadezimalsystem verwendet die Ziffern 0-9 und zusätzlich die Buchstaben A-F für die Werte 10-15. Die Basis ist 16. Es ist besonders praktisch, um lange Binärzahlen kürzer darzustellen.

Hexadezimalziffern und ihre Werte:

0-9 bleiben gleich, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

Umrechnung Hexadezimal- nach Dezimalsystem

Ähnlich wie bei Dezimal- oder Dualzahlen: Multipliziere jede Hexadezimalziffer mit der entsprechenden Potenz von 16 und addiere die Ergebnisse.

Beispiel: 2A₁₆ nach Dezimal

2 ⋅ 16¹ + A ⋅ 16⁰

= 2 ⋅ 16 + 10 ⋅ 1 (da A = 10₁₀)

= 32 + 10 = 42₁₀

Umrechnung Dezimal- nach Hexadezimalsystem

Teile die Dezimalzahl wiederholt durch 16 und notiere die Reste. Wandle die Reste in ihre Hexadezimalentsprechungen um und lies sie von unten nach oben.

Beispiel: 255₁₀ nach Hexadezimal

1. 255 ÷ 16 = 15 Rest 15 (das ist F₁₆)
2. 15 ÷ 16 = 0 Rest 15 (das ist F₁₆)

Ergebnis: FF₁₆

Der schnelle Weg: Dual- und Hexadezimalsystem verbinden

Da 2⁴ = 16 ist, passen genau vier Dualziffern (ein sogenanntes "Nibble") in eine Hexadezimalziffer. Das macht die Umrechnung sehr einfach!

Umrechnung Dual- nach Hexadezimalsystem

Gruppiere die Dualziffern von rechts beginnend in Vierergruppen. Fülle die letzte Gruppe links bei Bedarf mit Nullen auf. Wandle jede Vierergruppe in ihre Hexadezimalziffer um.

Beispiel: 111010110₂ nach Hexadezimal

1. Gruppieren (von rechts): 0001 1101 0110 (erste Gruppe mit Nullen aufgefüllt)
2. Umwandeln jeder Gruppe:
• 0001₂ = 1₁₆
• 1101₂ = D₁₆
• 0110₂ = 6₁₆

Ergebnis: 1D6₁₆

Umrechnung Hexadezimal- nach Dualsystem

Jede Hexadezimalziffer wird einfach in ihre entsprechende Vierergruppe von Dualziffern umgewandelt.

Beispiel: A5₁₆ nach Dual

1. Umwandeln jeder Ziffer:
• A₁₆ = 1010₂
• 5₁₆ = 0101₂

Ergebnis: 10100101₂

Übungsaufgabe: Zahlensysteme im Griff

Aufgabenstellung: Führe die folgenden Umrechnungen durch:

1. Wandel die Dezimalzahl 27₁₀ ins Dualsystem um.
2. Wandel die Dualzahl 110101₂ ins Dezimalsystem um.
3. Wandel die Dezimalzahl 54₁₀ ins Hexadezimalsystem um.
4. Wandel die Hexadezimalzahl 3F₁₆ ins Dezimalsystem um.
5. Wandel die Dualzahl 10110111₂ ins Hexadezimalsystem um.
6. Wandel die Hexadezimalzahl 8B₁₆ ins Dualsystem um.

Hinweise zur Lösung:

• Nutze die Divisions- oder Subtraktionsmethode für Dezimal-Dual/Hex.
• Für Dual-Hexadezimal und umgekehrt, gruppiere die Binärziffern in Vierergruppen.
• Vergesse nicht die Bedeutung von A-F im Hexadezimalsystem.

Schwierigkeitsgrad: mittel

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